等分除と包含除の意味の教え方は?その違いが割り算の苦手克服のカギに!

算数・数学の基礎となる四則計算は小学校で全て習いますが、四則計算の中でも1番難しいのが割り算です。
「足し算ってどういう意味?」「引き算ってどういう意味?」「掛け算ってどう言う意味?」と聞くと、例を使って説明してくれたり、直接それぞれの計算の概念を説明してくれたりするお子さんがほとんどではないでしょうか。
ただ、四則計算の1つである割り算の意味についてはは答えてくれるお子さんが少なくなります。
今回の記事では、割り算を教えるときに役立つ割り算の2つの意味、等分除と包含除1)読み方はそれぞれ「とうぶんじょ」、「ほうがんじょ」です。について書いてみたいと思います。

等分除の意味と教え方のコツ

等分除という言葉は聞いたことがありますか?
あまり耳にしない言葉かもしれません。
小学校で考え方は教わっても、等分除という言葉が出てくるということはないと思います。

等分除はその名の通り等分にするという考え方です。
言葉で書いても何を言っているのか分かりにくくなるので、例を見ながら考えてみましょう。

例題
りんごが6つあります。
2人で分けるとき、1人分はいくつになりますか。

この問題を解くのはそんなに難しくありませんよね。
すぐに$$6\div 2=3$$という式を書き解くことができると思います。
この問題で立てた割り算の式\(6\div 2=3\)がどういうことを意味するのかを図でみていきましょう。

まずはりんごを6つ書きます。
こんな感じです。

次に、これらのりんごを2人で分けるので同じ数ずつ囲みます。
等分除の説明

りんごを3つずつ2つのグループに分けることができました。
こんな感じで割る数と同じ数のグループに分けることを等分除といいます。
今回の場合だと2等分にしたという感じです。

もう1つ例を挙げてみます。

例題
りんごが6つあります。
3人で分けるとき、1人分はいくつになりますか。
先ほどの問題ではりんごを2人で分けたのが、今回の例題では3人で分けることになりました。
式を立てると\(6\div 3\)になります。
この割り算の式は「割る数が3」なので「割られる数6」を3等分することを意味します。
そして1グループの個数が商2)割り算の答えのことです。となります。
6個を3等分にした図

イメージできたでしょうか。
こんな感じで図で考えると分かりやすいと思います。
イメージが作れるまではきちんと絵図を描いていくのがおすすめです。
等分除は一般的にイメージする割り算という感じであることが多いのでしばらく絵図にしていくと理解しやすいと思います。
割る数が分数や小数の割り算では等分除をどう解釈したら理解できる?

それでは次に包含除をみていきたいと思います。

包含除の意味と教え方とコツ

包含除という言葉そのものを聞いたことがないという方も多いのではないでしょうか。
包含除というのは、割る数をいくつ含むのかという考え方のことです。
言葉で言っても分かりにくいので、例題を使って考えていきましょう。

例題
りんごが6つあります。
2つずつお皿にのせると何枚のお皿が必要ですか。

りんごをお皿に2つずつのせていくという問題です。
それでは6つのりんごを2つずつお皿にのせてみましょう。

6個を2個の塊に

こんな感じになりました。
りんごが2つのったお皿が3つできました。
このように、「割られる数6」の中に「割る数2」のかたまりがいくつあるのかというのが包含除の考え方になります。
りんご2つのかたまりが、いくつ作れるのか
りんご2つのかたまりが、いくつ入っているのか
という感じでとらえることができるといいですね。

もう1問例題でみてみましょう。

例題
りんごが6つあります。
3つずつお皿にのせると何枚のお皿が必要ですか。

今回の問題では、お皿に3つずつのせることになりました。
式を立ててみると、\(6\div 3\)となります。

\(6\div 3\)の意味を考えてみると、「割る数3」が「割られる数6」の中にいくつあるのかが求められます。
つまり、6個のりんごでりんご3個のかたまりがいくつできるのか、ということが分かります。

計算してみると、\(6\div3=2\)となるので、6の中に3が2つあるということが分かりました。
絵図にするとこんな感じです。

包含除の説明
3のかたまりが、2つあるイメージができるといいと思いますよ。
こんな感じで包含除のイメージもできると、割り算の理解が深まります。

等分除はイメージするのが易しいというお子さんが多いのですが、包含除はイメージしづらいお子さんが多いです。
割り算の意味を理解する上で包含除は鬼門とも言えるかもしれませんね。

小学生が等分除と包含除の割り算の2つの意味が分かれば算数の苦手が減る!?

算数が苦手になりやすい原因の1つである割り算には2つの意味があるからだと思います。
ここまでにご紹介してきた等分除と包含除という2つの考え方です。
この2つの概念をマスターすることで算数を得意科目にしやすくなります。
意味が分からないのに、式を立てるということは難しいですからね。

等分除と包含除という割り算の2つの考えが分かると、小学校の算数では「きはじ」や「くもわ」のような公式として扱われるものを使わなくても問題を解けるようになります。

等分除と包含除を理解することで覚えるべき公式が減る?

例えば、「\(15km\)の道のりを3時間で進んだ時の速さは時速何\(km\)ですか。」という問題であれば、\(15km\)を3等分すればいいことと考えることで\(15\div 3=5\)と式を立てることができます。
またこれを分速に直すのであれば、1時間は60分だから、時速を60等分すればいいと判断できると、\(5\div 60=\frac{1}{12}\)と言うことをきちんと考えることで求められるようになります。
ここまでの考え方は等分除をきちんと理解することで、公式を覚えなくても考えることで、求めることができます。

また、「\(20km\)の道のりを時速\(4km\)で進んだ時、何時間かかりますか。」という問題であれば20の中に4がいくつ入るのかが分かれば答えを求めることができます。
これはまさに包含除の考え方になります。
ここまで考えることができれば、\(20\div 4=5\)、5時間ということが容易に求められるようになります。

速さの単元の問題を例に出しましたが、割合の単元の問題でもあまり考えることは変わりません。
きちんと意味を考え立式することができるようになれば、問題を読んで、考えることで答えを出せるようになります。

きちんと割り算の2つの意味を理解することができれば、今よりももっと楽に算数ができるようになりますよ。

まとめ

今回の記事は割り算の等分除や包含除の意味についてでした。
四則計算の中で最も難しいのはこの割り算ではないでしょうか。
特に包含除の意味を理解することで、算数やその先の数学の理解も深くなります。

お子さんに説明してあげても、1度で理解するのは難しいかもしれません。
と、言うよりも、1度の説明で等分除も包含除も理解できるという方がすごいです。
お子さんがなかなか理解できなくても、そんなものかなぁと考えていいと思います。
割り算の2つの意味である等分除と包含除に関しては小学生のうちに理解して、イメージまでできるようになっていればいい感じなのではないかと思います。

割り算は小学3年生で習いますが、長い目で見てきちんと理解できるようにしてあげられるといいのではないでしょうか。
1つの計算に2つも意味を持つのは割り算だけです。
すぐには理解できなくても焦らず何度もイメージしながら算数の問題と向き合うのがオススメです。
お子さんに説明してあげるときは上の図のような絵図を紙に書きながら説明してあげるといいですね。
割り算の2つの意味である等分除と包含除のイメージができるようになることを目標にしましょう。
そんなに簡単に理解できることではないので気長に構えてあげるといいと思います。

References   [ + ]

1. 読み方はそれぞれ「とうぶんじょ」、「ほうがんじょ」です。
2. 割り算の答えのことです。

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