旅人算の練習問題と解説

出会い算や追いつき算といった旅人算の練習問題になります。
速さの中では応用問題にあたりますが、1つずつしっかり身に付けましょう。

旅人算の2地点から出発して出会う出会い算の練習問題

練習問題
\(A\)駅から\(B\)駅まで\(400km\)離れています。
\(A\)駅から\(B\)駅まで時速\(150km\)の電車が出発しました。
それと同時に\(B\)駅から\(A\)駅までの線路沿いを時速\(50km\)の自動車が出発しました。
電車と自動車は出発して何時間後にすれ違いますか。
動くモノが電車と自動車になりましたが、考えることは同じです。
電車と自動車の移動した距離の和から考えます。
電車と自動車がすれ違うまでに移動した距離の和は\(400km\)となります。
また、1分間に電車と自動車が移動する距離の和は、$$150+50=200$$電車と自動車の移動した距離は1分ごとに\(200km\)増加するので、$$400\div 200=2$$電車と自動車がすれ違うのは出発して2時間後となります。
練習問題
\(A\)地点から\(B\)地点まで\(108km\)離れています。
\(A\)地点から\(B\)地点まで時速\(24km\)で進む自動車と、\(B\)地点から\(A\)地点まで時速\(48km\)で進む自動車の2台が同時に出発します。
2台がすれ違うのは\(B\)地点から何\(km\)のところですか。
2台の自動車が1時間に移動する距離の合計は、$$24+48=72$$\(A\)地点と\(B\)地点の間の距離(2台の自動車が出会うまでに進んだ距離の合計)は\(108km\)、2台の自動車の移動した距離の和は1時間ごとに\(72km\)ずつ増加するので、2台の自動車がすれ違うまでにかかる時間は、$$108\div 72=1.5$$求める答えは、2台の自動車がすれ違った地点と\(B\)地点の距離なので、\(B\)地点を出発した時速\(48km\)の自動車の移動距離を求めれば答えになります。$$48\times 1.5=72$$すれ違った地点と\(B\)\地点の距離は(72km\)となります。
練習問題
家から駅まで\(3.6km\)あります。
弟が家から駅まで分速\(40m\)で歩いて兄を迎えに行きました。
兄は弟が家を出たのと同時に駅を出発し、家へ向かいました。
2人が40分後に出会ったとき兄は分速何\(m\)で移動していることになりますか。
出会うまでにかかった時間が40分と与えられているので、弟の移動した距離を求めることができます。$$40\times 40=1600$$また兄と弟が移動した距離の合計は家から駅までの距離と等しいので、兄と弟が移動した距離と弟の移動した距離の差を求めることで兄が40分間に移動した距離が求められます。$$3600-1600=2000$$兄は\(2000m\)進むのに40分かかったので、$$2000\div 40=50$$兄の移動した速さは分速\(50m\)となります。

旅人算の先に出た人を追いかけて追いつくような追いつき算の練習問題

練習問題
\(360km\)の距離を移動する2本の電車があります。
Aの電車は普通電車で時速\(90km\)、Bの電車は特急電車で時速\(120km\)の速さで走ります。
Aの電車が駅を出発して50分後にBの電車が同じ駅を出発しました。
①Bの電車がAの電車を追い越すのはAの電車が駅を出発して何分後ですか。
②Bの電車がAの電車に追いつくのは出発した駅から何\(km\)の地点ですか。
③Bの電車はAの電車より何分早く目的地に着きますか。
①から見ていきましょう。
①と③を見てみると、どちらも時間の単位が分になっていて、②では距離の単位が\(km\)になっているので、分速○\(km\)という形が楽に解けそうです。
まずはAとBの電車を分速○\(km\)という風に時速から分速へ単位を変換してみます。
するとAの電車は分速\(1.5km\)となり、Bの電車は\(2km\)となります。

Bの電車が出発した時のAの電車の位置を求めると$$1.5km\times 50=75$$Bの電車が駅を出発した時Aの電車は駅から\(75km\)地点にいることが分かります。
またAとBの電車の距離の差が1分間に\(0.5km\)1)分速\(2km\)と分速\(1.5km\)の差を取って求めます。ずつ縮むので、$$75km\div 0.5=150$$
Bの電車が出発して150分後にBの電車がAの電車に追いつくということになります。
答えは\(150+50=200\)となるので200分後となります。

②Bの電車がAの電車に追いついた地点は①で求めた時間を使って求めます。
Aの電車が分速\(1.5km\)で200分進んだ地点にいるので、$$1.5\times 200=300$$となり、駅から\(300km\)の地点ということになります。

③Aの電車、Bの電車の\(360km\)を移動するのにかかる時間を求めれば分かります。
Aの電車:\(360km\div 1.5=240\)
Bの電車:\(360kmdiv 2=180\)
また、Bの電車のほうが50分遅く駅を出たので、$$240-(180+50)=10$$となり、Bの電車はAの電車よりも10分早く目的地に到着するということになります。

練習問題
家から図書館まで\(2.2km\)あります。
妹が家を出て図書館へ向かった30分後に兄も同じ道を分速\(140m\)の速さで走って向かい、\(1680m\)の地点で妹を追いこしました。
①兄が妹を追いこしたのは妹が家を出て何分後になりましたか。
②妹は分速何\(m\)で歩いて歩いていますか。
①からみていきます。
妹が出てから30分後に兄が家を出たので、兄が\(1680m\)地点に行くまでにかかった時間に30分を加えると答えが求められます。
兄が\(1680m\)地点に行くまでにかかった時間を求めると、$$1680\div 140=12$$となるので、求める答えは\(30+12\)を計算して42分となります。

②にいきますね。
①から妹が\(1680m\)の地点まで行くのに42分かかっているので、$$1680\div 42=40$$となるので、答えは分速\(40m\)となります。

練習問題
家から公園まで弟は分速\(50m\)で歩き、姉は分速\(150m\)の自転車に乗って向かいました。
①弟は公園まで52分かかりました。
家から公園までは何\(km\)ありますか。
②姉は家から\(1200m\)のところで弟に追いつきました。
姉は弟が家を出て何分後に出発しましたか。
①から解いていきましょう。
弟が家から公園まで歩いて52分かかったので、$$50\times 52=2600$$後は単位を\(km\)に合わせて、答えは\(2.6km\)となります。

②を解きますね。
弟が\(1200m\)地点までにかかった時間と姉が\(1200m\)地点までにかかった時間の差を求めると答えがだせます。
\(1200m\)地点まで弟がかかった時間を求めると、$$1200m\div 50=24$$となるので24分となります。
次に姉が\(1200m\)地点までにかかった時間を求めると、$$1200m\div 150=8$$となるので8分かかったことが分かります。
差を取って\(24-8=16\)となるので、姉が家を出たのは弟が家を出て16分後となります。

旅人算の池の周りを反対方向にまわる出会い算の解き方とコツ

練習問題
あるジョギングコースの同じ地点から兄と弟が同時に反対方向に走り出しました。
コースの長さは1周\(3km\)です。
兄が分速\(120m\)で走ると10分後に弟とすれ違いました。
弟は分速何\(m\)で走っていましたか。
2人が同じ地点から反対方向にスタートして10分後に出会うということなので、2人が移動した距離の和は\(3km\)ということが分かります。
弟が移動した距離は2人が移動した距離の和から兄が移動した距離を引けば出せます。

兄が移動した距離を求めましょう。$$120\times 10=1200$$兄が移動した距離が\(1200m\)と分かったので、弟が移動した距離を求めます。$$3000-1200=1800$$弟は\(1800m\)を10分で移動したので、$$1800\div 10=180$$弟の速さは分速\(180m\)ということになります。

練習問題
1周\(5.8km\)のウォーキングコースがあります。
ウォーキングコースのスタート地点から太郎くんは分速\(80m\)で、花子さんは分速\(65m\)で同時に反対向きに歩き始めました。
2人がコースの途中で出会うのは出発して何分後ですか。
2人が移動した距離の和は\(5800m\)、2人が1分間に移動する距離の\(80+65=145\)なので、$$5800\div 145=40$$太郎君と花子さんが出会ったのはスタートして40分後ということが分かりました。
練習問題
1周\(11km\)のサイクリングコースを兄は時速\(16.8km\)、弟は分速\(160m\)の自転車で周ります。
2人が同じ地点から同時に反対方向に出発して出会った時とき、兄はスタート地点から何\(m\)進んだことになりますか。
求める答えが\(m\)なので距離の単位は\(m\)で、分速で解くのが解きやすそうなので兄の速さを分速〇\(m\)に単位を変えてから解いていきたいと思います。
時速\(16.8km\)を分速〇\(m\)にすると、$$16800\div 60=280$$兄の速さは分速\(280m\)ということが分かりました。
兄と弟の2人が1分間に移動する距離は、$$160+280=440$$2人が出会うまでにかかる時間は、$$11000\div 440=25$$2人が出会うまでに25分かかるということが分かったので、兄がスタート地点から出発してから弟と出会うまでに移動した距離は、$$280\times 25=7000$$兄が進んだ距離は\(7000m\)ということになります。

旅人算の池の周りを同じ方向にまわる追い越し算の練習問題

練習問題
あるジョギングコースを兄は時速\(7.2km\)、弟は時速\(5.4km\)で走りました。
このとき、2人は同時に同じ方向へスタート地点を出発しました。
出発して30分後に初めて兄が弟を追いこしたとき、このジョギングコースは1周何\(m\)になりますか。
ジョギングコースの1周を求める問題です。
今までの問題でいけば池の周を求める問題と同じ意味になります。

兄と弟が同時に同じ方向に出発して、兄が弟を追い越すまでに30分かかったというところが解釈のポイントです。
兄が弟を追い越すまでに兄の方が、ジョギングコース1周分多く走ったということになります。

兄が時速\(7.2km\)、弟が時速\(5.4km\)なので、2人の間の距離は1時間ごとに\(1.8km\)広がることになります。
30分で差がついた距離がジョギングコース1周の距離となるので、$$1.8\times 0.5=0.9$$ジョギングコースの1周は\(0.9km\)となります。
あとは単位を答える単位に合わせて、\(900m\)が答えとなります。

練習問題
1周の長さが\(5.4km\)のサイクリングコースがあります。
このコースのスタート地点から姉は秒速\(8m\)、妹は秒速\(5m\)の速さで自転車に乗り、同時に同じ方向へ出発しました。
姉が初めて妹を追い越すのはスタート地点から何\(m\)先の地点になりますか。
まずは、姉が妹を追い越す時間を求めましょう。
姉と妹が同時に同じ方向に進んでいるので、1秒ごとにどれだけの差がついているのかから考えます。
姉の速さが秒速\(8m\)、妹の速さが秒速\(5m\)なので、2人の間の差は1秒ごとに\(3m\)開いていきます。

その差がサイクリングコース1周分になった時に姉が妹を追いこすことになります。
2人が出発してから姉が妹を追い越すまでの時間は$$5400\div 3=1800$$1800秒後に姉が妹を追いこすことがわかりました。

次にスタート地点から何\(m\)の地点で追いこすことになるのかを考えていきます。
移動距離が小さい妹が進んだ距離をもとにするのが楽に答えを求められそうなので、妹が移動した距離を求めると、$$5\times 1800=9000$$妹は姉に\(9000m\)進んだ地点で追い越されたことがわかります。
サイクリングコース1周は\(5400m\)で、妹が\(9000m\)進んだので、妹が姉に追いこされた地点がスタート地点から何\(m\)離れた地点かを求めると、$$9000-5400=3600$$姉が妹を追いこした地点は、スタート地点から\(3600m\)離れた地点ということになります。

練習問題
周りの長さが\(120m\)の池の周りを姉と妹が歩きました。
2人が同じ地点から同時に同じ方向へ歩き出すと12分後に姉が妹を初めて追いこしました。
妹が時速\(4.2km\)で歩いていたとき、姉は時速何\(km\)で歩いていることになりますか。
12分後に姉が妹を初めて追いこしたので、姉と妹が移動した距離の差は池の周りの長さ\(120m\)ということになります。
姉は時速○\(km\)で妹は時速\(4.2km\)で、12分間に進んだ時の距離は、$$4.2\times \frac{12}{60}=0.84$$姉が進んだ距離は妹が進んだ距離よりも\(120m\)長いので、姉が12分間に進んだ距離は、$$0.84+0.12=0.96$$この速さで60分進んだ速さは、$$0.96\div \frac{12}{60}=4.8$$
姉の速さは時速\(4.8km\)となります。

姉が妹よりも進んだ距離を利用した解き方

12分で姉が妹よりも\(120m\)進んだことを利用して解くと楽に解くことができます。
12分で姉が妹より\(120m\)進むためには姉の進む速さが妹の進む速さよりどれだけ速ければいいかを考えます。$$0.12\div \frac{12}{60}=0.6$$妹よりも時速\(0.6km\)早ければ妹に12分で追いつけるということになります。$$4.2+0.6=4.8$$姉の速さは時速\(4.8km\)となります。

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References   [ + ]

1. 分速\(2km\)と分速\(1.5km\)の差を取って求めます。