直方体や立方体の体積を求める公式は、どうして「たて×横×高さ」なの?

かさ直方体などの体積を求める公式と言えば、「たて×横×高さ」ですよね。
なんとなく小学生のときに公式として覚えたよーという方も多いのではないでしょうか。
もちろん公式として覚えても問題そのものを解くことはさほど難しいことではないと思います。
しかし、お子さんから、「なぜ、直方体の体積=たて×横×高さなの?」と聞かれると返答に困ってしまうということはありませんか。

なぜ、「直方体の体積=たて×横×高さ」なのでしょうか。
今回の記事では、直方体や立方体の体積を求める公式が「たて×横×高さ」なのかについて書いてみたいと思います。

直方体や立方体の体積を求める公式が「たて×横×高さ」なのはなぜ?

「直方体や立方体の体積ってどうやって求めるの?」
と、お子さんから聞かれたら、どう答えるでしょうか。
「たて×横×高さで求められるよ」
と、答えるのはそんなに難しいことではないと思います。

「どうして、直方体や立方体の体積はたて×横×高さなの?」

こう聞かれると途端に難しくなります。
公式でそうなっていると答えるのは楽なのですが、一体なぜ直方体や立方体の体積は、たて×横×高さなのでしょうか。

体積の基準を考えよう

体積の単位から、なぜ直方体や立方体の体積が、たて×横×高さなのかを考えてみましょう。
体積の単位には、\(cm^3\)や\(m^3\)などが使われます。
この単位の意味を考えてみましょう。

\(cm^3\)ってなにー?

\(cm^3\)の意味を考えてみましょう。
\(\cm^3)は端的に言うと、モノの大きさをはかる単位です。
なんでもそうなのですが、大きさをはかったり、長さをはかったりするには基本となる大きさを決めないといけません。

例えば\(cm\)という単位を考えたときに、まずは\(1cm\)の長さがどれくらいかを決め、それをもとに長さをはかることになります。

と、言うことは、\(cm^3\)にも基準となる大きさ、\(1cm^3\)の大きさがあるということになります。
この\(1cm^3\)の大きさがどれくらいの大きさかというと、一辺が\(1cm\)の立方体の大きさです。

簡単に考えるとこの立方体が入る数が、その物体の体積ということになります。
そのことをもとに次の直方体の体積を考えてみます。

例題
次の立体の体積を求めましょう。

一辺が\(1cm\)の立方体からできた直方体です。
体積を求めてみましょう。
おそらく何も言わずにお子さんに体積を求めてもらってみると、公式を使うお子さんが多いと思います。
直方体の体積は、たて×横×高さです。
この体積の公式に当てはめて解いてみます。
直方体のたての長さは\(1cm\)、横の長さは\(3cm\)、高さは\(1cm\)なので、$$直方体の体積=1\times 3\times 1$$となります。
よって、この直方体の体積は\(3cm^3\)ということが分かりました。

次にそもそもの理屈からこの問題を解いてみましょう。
体積の基準は、一辺が\(1cm\)の立方体でした。
体積はその立方体がいくつその立体に入っているのかが分かればいいということでしたね。
つまり、一辺が\(1cm\)の立方体の数を数えても答えが出せると言うことです。
この問題では1辺が\(1cm\)の立方体が3つ並んでいます。
と、言うことで、\(6cm^3\)ということになります。
公式で出した時と同じ答えになりました。
なぜ、公式で答えを求めてみても、一辺が\(1cm\)の立方体の数を数えても、同じ答えになるのでしょうか。

直方体の体積の公式でも…

直方体の体積の公式は、たて×横×高さでした。
たて、横、高さは、どれも長さを入れますが、ここを一辺が\(1cm\)の立方体の数を基準にして考えてみましょう。
先ほどの1辺が\(1cm\)の立方体が横に3つ並んだ問題を使いますね。
一辺が\(1cm\)の立方体は、たてに1つ、横に3つ、これが1段あります。
つまり、一辺が\(1㎝\)の立方体がいくつあるのかを計算で出してみると、\(1\times 3\times 1=3\)となるので、一辺が\(1cm\)の立方体が3つあるということになります。

直方体や立方体の公式の「たて×横×高さ」という公式は、一辺が\(1cm\)の立方体の数の数え方とみることができます。

次に直方体のたてと横と高さの長さが、分かるときの体積を一辺が\(1cm\)立方体がいくつあるのかを数えて求めてみましょう。

例題
次の立体の体積を求めましょう。

たてと横と高さの長さが分かっているので、公式に代入すれば答えを出すことができますが、ここでは、一辺\(1cm\)の立方体がいくつあるのかから、この直方体の体積を求めてみましょう。
先ほどの図のままでは、考えにくいので、直方体を一辺が\(1cm\)の立方体に分けてみましょう。

図を見てみると、一辺が\(1cm\)の立方体が、たてに3つ、横に4つ、2段になっています。
この立方体の数を求めると、$$3\times 4\times 2=24$$一辺が\(1cm\)の立方体が24個あることが分かりました。
この直方体の体積は、\(24cm^3\)と言うことが分かりました。

まとめ

今回の記事では、直方体や立方体の体積を求める公式が、なぜ「たて×横×高さ」なのかについて書いてみました。

公式を覚えるだけだとすぐに忘れてしまいますがちょっと理屈が分かるだけで忘れにくくなります。
今回の、直方体や立方体の公式の意味は、「直方体や立方体の中に入る、一辺が\(1cm\)の立方体の数を数える公式」というイメージでとらえることができるといいのではないでしょうか。
もちろん、直方体はたてと横と高さの長さをかけ合わせれば、体積が出せると覚えても学校のテストでは答えが出すことができます。

しかし、時間が経つと、意味もなく暗記したものは忘れがちです。
直方体や立方体の体積の公式は、イメージがしやすい公式なので、理屈もばっちり理解することがおススメです。
一辺が\(1cm\)の立方体の数を数えているイメージをつかめれば公式を忘れにくくなるだけでなく、体積に対する理解も深まると思いますよ。

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