池の周りを同じ方向に周って追い越す旅人算の問題を解説!

池の周りをぐるぐるまわり,追いかける速さの問題です。

動くモノが2つある上に同じ方向に進み、一方が他方に追いつくという概念を理解するのが難しい問題になります。

逆に考えるとこの追いつくというのがどういうことなのかということが分かると問題を理解することがグッと易しくなります。

算数と肩肘張らずに問題をしっかり解釈していきましょう。

池の周りを同じ方向に周って追い越す旅人算の問題を解説!

よくある池の周りをまわる問題です。
今回の記事では同じ方向に進む問題を扱いますよ。
まずは問題の理解が大事になるので理解しながらすすめていきましょう。

例題
周りの長さが\(1.8km\)の\(A\)地点から兄が分速\(90m\)、弟が分速\(60m\)で同時に同じ方向へ歩き始めました。
初めて兄が弟を追いこすのは2人が出発して何分後になりますか。

兄と弟の進んだ距離を考えて解こうとするととんでもなくややこしくなってしまいます。
まずは、少し視点を変えてみましょう。

この問題は兄と弟が同時に同じ方向に出発して兄が弟に追いつくまでの時間を求める問題です。
そのまま頭の中で兄と弟を歩かせてみると…どうすれば追いつくのかイメージが作りにくいですよね。
という訳でちょっと視点を変えて追いついてしまった時の兄と弟の歩いた距離を考えてみましょう。

兄が弟に追いつくということは、兄のほうがたくさん歩いたことは分かりますよね。
兄は弟よりもどれだけ長く歩いたのでしょうか。
ここが1番のポイントです。

追いつくというのは少し見方を変えると、「兄のほうが池を1周多くまわった」ということですね。
ということは、兄が歩いた距離は弟が歩いた距離よりも、池1周分多いということが分かります。
旅人算池の周り

つまり、この問題では兄のほうが弟よりも\(1800m\)長く歩いたということになります。

また兄の歩く速さは分速\(90m\)、弟が歩く速さは分速\(60m\)です。
2人が1分歩くごとに、\(30m\)兄のほうが多く歩くことになります。1)差が付くと言うことですね。

先程兄のほうが\(1800m\)多く歩くことが、分かりましたよね。
兄は1分ごとに\(30m\)弟よりも長い距離を歩いたことになります。
つまり、兄が弟に追いついた時間は、$$1800\div 30=60$$出発して兄が弟に追いつくのは出発して60分後ということがわかりました。

例題
周りの長さが\(3600m\)の湖があります。
その湖の周りを兄は時速\(7.2km\)で走り、妹は秒速\(5m\)の自転車に乗りました。
2人は同時に同じ方向へ出発します。
妹が兄を初めて追いこしたとき、妹は何\(m\)自転車に乗ったことになりますか。

まずは兄の速さ時速\(7.2km\)を、秒速○\(m\)の形にすると、秒速\(2m\)。
同じ方向に進んで妹が兄を追いこすときを求めます。
妹が兄の進んだ距離よりも湖1周分の長さ、\(3600m\)長く進んだ時に兄を追い越します。

兄は秒速\(2m\)、妹は秒速\(5m\)なので、2人の距離は1分ごとに\(3m\)ひらくことになります。

その差が、\(3600m\)になった時に妹が兄を追い越すので、追い越す時間を求めると、$$3600\div 3=1200$$妹が兄を追いこすまでの時間はスタートしてから、1200秒後ということになります。

求める答えは妹が自転車に乗っていた距離なので、$$5\times 1200=6000$$妹が自転車にのっていた距離は\(6000m\)ということになります。

練習問題

1、あるジョギングコースを兄は時速\(7.2km\)、弟は時速\(5.4km\)で走りました。
このとき、2人は同時に同じ方向へスタート地点を出発しました。
出発して30分後に初めて兄が弟を追いこしたとき、このジョギングコースは1周何\(m\)になりますか。

2、1周の長さが\(5.4km\)のサイクリングコースがあります。
このコースのスタート地点から姉は秒速\(8m\)、妹は秒速\(5m\)の速さで自転車に乗り、同時に同じ方向へ出発しました。
姉が初めて妹を追い越すのはスタート地点から何\(m\)先の地点になりますか。

3、周りの長さが\(120m\)の池の周りを姉と妹が歩きました。
2人が同じ地点から同時に同じ方向へ歩き出すと12分後に姉が妹を初めて追いこしました。
妹が時速\(4.2km\)で歩いていたとき、姉は時速何\(km\)で歩いていることになりますか。

解答と解説

1の解説

ジョギングコースの1周を求める問題です。
今までの問題でいけば池の周を求める問題と同じ意味になります。

兄と弟が同時に同じ方向に出発して、兄が弟を追い越すまでに30分かかったというところが解釈のポイントです。
兄が弟を追い越すまでに兄の方が、ジョギングコース1周分多く走ったということになります。

兄が時速\(7.2km\)、弟が時速\(5.4km\)なので、2人の間の距離は1時間ごとに\(1.8km\)広がることになります。
30分で差がついた距離がジョギングコース1周の距離となるので、$$1.8\times 0.5=0.9$$ジョギングコースの1周は\(0.9km\)となります。
あとは単位を答える単位に合わせて、\(900m\)が答えとなります。

2の解説

この問題は答え方が難しくなりますが、途中までの解き方は同じです。
解いていきましょう。

まずは、姉が妹を追い越す時間を求めましょう。
姉と妹が同時に同じ方向に進んでいるので、1秒ごとにどれだけの差がついているのかから考えます。
姉の速さが秒速\(8m\)、妹の速さが秒速\(5m\)なので、2人の間の差は1秒ごとに\(3m\)開いていきます。

その差がサイクリングコース1周分になった時に姉が妹を追いこすことになります。
2人が出発してから姉が妹を追い越すまでの時間は$$5400\div 3=1800$$1800秒後に姉が妹を追いこすことがわかりました。

次にスタート地点から何\(m\)の地点で追いこすことになるのかを考えていきます。
移動距離が小さい妹が進んだ距離をもとにするのが楽に答えを求められそうなので、妹が移動した距離を求めると、$$5\times 1800=9000$$妹は姉に\(9000m\)進んだ地点で追い越されたことがわかります。
サイクリングコース1周は\(5400m\)で、妹が\(9000m\)進んだので、妹が姉に追いこされた地点がスタート地点から何\(m\)離れた地点かを求めると、$$9000-5400=3600$$姉が妹を追いこした地点は、スタート地点から\(3600m\)離れた地点ということになります。

3の解説

12分後に姉が妹を初めて追いこしたので、姉と妹が移動した距離の差は池の周りの長さ\(120m\)ということになります。
姉は時速○\(km\)で妹は時速\(4.2km\)で、12分間に進んだ時の距離は、$$4.2\times \frac{12}{60}=0.84$$姉が進んだ距離は妹が進んだ距離よりも\(120m\)長いので、姉が12分間に進んだ距離は、$$0.84+0.12=0.96$$この速さで60分進んだ速さは、$$0.96\div \frac{12}{60}=4.8$$
姉の速さは時速\(4.8km\)となります。

姉が妹よりも進んだ距離を利用した解き方

12分で姉が妹よりも\(120m\)進んだことを利用して解くと楽に解くことができます。
12分で姉が妹より\(120m\)進むためには姉の進む速さが妹の進む速さよりどれだけ速ければいいかを考えます。$$0.12\div \frac{12}{60}=0.6$$妹よりも時速\(0.6km\)早ければ妹に12分で追いつけるということになります。$$4.2+0.6=4.8$$姉の速さは時速\(4.8km\)となります。

まとめ

今回の記事ではぐるぐるまわるところを同じ方向にまわって追いつく問題でした。
動くものが増えるだけで随分と問題が難しくなってしまいます。
まずは、問題文の解釈が大事です。
間違っても最初から速さの公式に突っ込んでしまえー!!とすると、何をしているのか分からなくなることが多いと思います。
お子さんが速さで混乱中なんて時は、一旦速さの問題であるということは忘れて何をしているのか意味の把握をさせてあげた方が近道かもしれません。
焦らずに進めていけるといいと思います。
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References   [ + ]

1. 差が付くと言うことですね。

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