比例の色々な見分け方とは

「○は△に比例しますか。」
のような感じで比例するのか、比例しないのかを判断させる問題は良く出てきます。

どうやって、比例するのか、それとも比例しないのかを見分けるといいのでしょうか。

今回の記事では比例かどうかの見分け方について書いてみたいと思います。

比例の見分け方

それでは早速例題を用いて考えてみましょう。

例題1
次の(1)~(4)で、2つの量が比例するものを番号ですべて選びましょう。
(1)ある人の年齢と体重
(2)50円切手を買うときの50円切手を買う枚数と代金
(3)面積が12\(cm^3\)の三角形の底辺の長さと高さの長さ
(4)縦の長さが5\(cm\)の長方形の横の長さと面積
まずは、比例の関係がどんな関係だったのかを簡単に書いてみます。
比例の関係は、一方の量(数)を2倍3倍…としたときにもう一方の量(数)も2倍3倍…となっているような関係のことを言います。
まずはここをきちんと抑えておきましょう。
比例ってどういう意味?

まずはこのことを頭に入れてもらいましょう。
例題の(1)からみていきます。

「ある人の年齢と体重」が比例かどうかを考えます。
常識的に考えると、比例ではないことは分かると思います。
こんなときも、きちんとなぜ比例ではないのか理由まで言えるといいですね。
もし、ある人の年齢と、体重に比例の関係があるのであれば、年齢を2倍、3倍すると、体重も2倍、3倍になるということです。

大体1歳児の体重が\(9kg\)くらいなので、2歳になると\(18kg\)、3歳になると\(27kg\)・・・20歳になると\(180kg\)となってしまいます。
そもそもこんなにきちんと体重が増えていくことは考えられませんし、生まれた段階で体重が\(2000g\)~\(3000g\)位あることから、比例というのは考えられないということになります。
そのため(1)は比例の関係ではないとなります。

(2)50円切手を買うときの50円切手を買う枚数と代金を考えましょう。
50円切手を1枚買うと、50円
50円切手を2枚買うと、100円
50円切手を3枚買うと、150円
50円切手を4枚買うと、200円

切手を購入する枚数を2倍、3倍・・・にすると、切手の代金も2倍、3倍・・・となっていますよね。
そのため50円切手を買うときの枚数と代金は比例の関係にあると言えます。

(3)面積が12\(cm^3\)の三角形の底辺の長さと高さの長さについて考えます。
底辺の長さが1\(cm\)のとき、高さの長さは24\(cm\)
底辺の長さが2\(cm\)のとき、高さの長さは12\(cm\)
底辺の長さが3\(cm\)のとき、高さの長さは8\(cm\)
底辺の長さが4\(cm\)のとき、高さの長さは6\(cm\)

底辺の長さが2倍、3倍・・・になると、高さの長さは\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍・・・となっているので、面積が12\(cm^3\)の三角形の底辺の長さと高さの長さは比例の関係ではないということが分かります。
ちなみに、「一方の量(数)を2倍3倍…としたときにもう一方の量(数)も\(\frac{1}{2}\)倍、\(\frac{1}{3}\)倍…」となる関係は反比例と呼ばれます。

最後の問題ですね。
(4)縦の長さが5\(cm\)の長方形の横の長さと面積について考えていきます。
横の長さが1\(cm\)のとき、面積は5\(cm^2\)
横の長さが2\(cm\)のとき、面積は10\(cm^2\)
横の長さが3\(cm\)のとき、面積は15\(cm^2\)
横の長さが4\(cm\)のとき、面積は20\(cm^2\)

横の長さが2倍、3倍…になると、面積も2倍、3倍…になっています。
そのため比例の関係にあると判断することが出来ます。

比例かどうかを見分ける他の方法はないの?

比例の関係は、一方の量(数)を2倍3倍…としたときにもう一方の量(数)も2倍3倍…となっているような関係のことを言いますが、ほかには見分け方はないのでしょうか。
単純に2倍、3倍として見分けるほかにもう1つ見分ける方法があります。
一方の量をもう一方の量で割った数が、一定かどうかをみるという方法です。

例えば(2)の50円切手を買うときの50円切手を買う枚数と代金の場合、枚数と代金の合計は下のようになりました。
50円切手を1枚買うと、50円
50円切手を2枚買うと、100円
50円切手を3枚買うと、150円
50円切手を4枚買うと、200円

これらをそれぞれ、代金を枚数で割るとすべて50になります。
この数が一定であれば比例とも言えます。
教科書的には、こんな感じですが、数の順番が逆になってもこれらの数が一定であれば大丈夫です。
このきっての場合だと、枚数を代金で割るとすべて0.2となります。
このことから、枚数と代金の間には比例の関係があるということが出来ます。

比例かを見分けるのに、なぜ一方の量をもう一方の量で割った数が一定であればいいの?

このことを考えるには先程の枚数と代金の関係を少し違う形で見てみましょう。
50円切手を1枚買うと、50円
50円切手を1枚\(\times 2\)買うと、50円\(\times 2\)
50円切手を1枚\(\times 3\)買うと、50円\(\times 3\)
50円切手を1枚\(\times 4\)買うと、50円\(\times 4\)

代金を枚数で割ると、
50円切手を1枚買ったとき$$\frac{50}{1}$$
50円切手を2枚買ったとき$$\frac{50\times 2}{1\times 2}$$
50円切手を3枚買ったとき$$\frac{50\times 3}{1\times 3}$$
50円切手を4枚買ったとき$$\frac{50\times 4}{1\times 4}$$それぞれ2倍3倍としたところが約分で消えてしまいます。
その結果一定の値を取ることが分かります。

その逆に枚数を代金で割ると、
50円切手を1枚買ったとき$$\frac{1}{50}$$
50円切手を2枚買ったとき$$\frac{1\times 2}{50\times 2}$$
50円切手を3枚買ったとき$$\frac{1\times 3}{50\times 3}$$
50円切手を4枚買ったとき$$\frac{1\times 4}{50\times 4}$$先程の代金を枚数で割ったときと同じように、それぞれ2倍3倍としたところが約分で消えてしまいます。
その結果一定の値と取ることが分かります。

比例の一般式からも

比例の一般式からも、「一方の量をもう一方の量で割った数が、一定であれば比例である」という事が分かります。
比例の一般式は、$$y=ax$$ですよね。
このとき、\(x\)と\(y\)は変数、\(a\)は定数です。
また、一方の量ともう一方の量に当たる数は、\(x\)と\(y\)のことになります。

比例の一般式を少し変形してみると、$$a=\frac{y}{x}$$となり一定の値をとります。
また、その逆数は$$\frac{1}{a}=\frac{x}{y}$$となります。
このとき、左辺の\(\frac{1}{a}\)は全体で定数とみることができるので、\(\frac{x}{y}\)も一定の値となります。

つまり、「一方の量をもう一方の量で割った数が、一定であれば比例である」と言えます。

まとめ

今回の記事では比例かどうかの見分け方について書いてみました。
1番大切なのは比例がどういうものかを理解することです。
きちんと理解できるようになってから、比例なのか比例でないのかは容易に見分けることができるようになります。
比例かどうかの見分け方は、まずは「一方の量(数)を2倍3倍…としたときにもう一方の量(数)も2倍3倍…となると比例の関係である」という考え方で判断するのが最もお子さんにとってはやりやすいと思います。

それもきちんとできるようになって、余裕があれば「一方の量をもう一方の量で割った数が、一定であれば比例である」という考え方も理解できるといいのではないでしょうか。
あくまで余裕があるときにというくらいで、いいと思います。
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